Question

一道高一数学选择题

若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1则下列说法一定正确的是：
A f(x)为奇函数 B f(x)为偶函数 C f(x)+1为奇函数 D f(x)+1为偶函数
要有过程

Answer 1

令x2 = 0
=> f(x1) = f(x1)+f(0)+1
=> f(0) = -1 => f(x)不是奇函数，可排除A
令x2 = -x1
=> f(0) = -1 = f(x1)+f(-x1)+1
=>两边都加1得
0 = [f(x1)+1] + [f(-x1)+1]
=> f(x1)+1 = -[f(-x1)+1]
所以f(x)+1为奇函数，答案选C

Answer 2

选C
令x1=x2=0,左边=f(x1+x2)=f(0+0)=f(0)，右边=2f(0)+1,所以f(0)=-1；

令x1=-x2=x,左边=f(0),右边=f(x)+f(-x)+1,所以f（x)+f(-x)=-2；

至此可排除A、B选项。

可令g(x)=f(x)+1,则个g（x)+g(-x)=0,g(0)=0,可见C选项是正确的。