Question

已知函数y=f(n),n∈N，满足f(n)=n+f(n-1),f(0)=0.试求lim[1/f(1)+1/f(2)+1/f(3)+....+1/f(n)]的值。其中n

已知函数y=f(n),n∈N，满足f(n)=n+f(n-1),f(0)=0.试求lim[1/f(1)+1/f(2)+1/f(3)+....+1/f(n)]的值。其中n趋近于∞
请给详细解答过程，谢谢，

Answer 1

f(n)=n+f(n-1)
f(1)+f(2)+...+f(n)=(1+2+3+...+n)+(f(0)+f(1)+f(2)+...+f(n-1))
f(n)=f(0)+(1+2+3+...+n)
=n(n+1)/2
1/f(n)=2/n -2/(n+1)
1/f(1)+1/f(2)+1/f(3)+....+1/f(n)]
=(2/1-2/2)+(2/2-2/3)+(2/3-2/4)+...+(2/n-2/(n+1))
=2-2/(n+1)
lim[1/f(1)+1/f(2)+1/f(3)+....+1/f(n)]
=2-lim[2/(n+1)]
=2

Answer 2

f(n)=n+f(n-1), =》f（n）-f（n-1）=n

所以

f（1）-f（0）=1
f（2）-f（1）=2
f（3）-f（2）=3
.
.
.
f（n）-f（n-1）=n

相叠加，得f（n）-f（0）=1+2+3+...+n=n（n+1）/2，又因为f（0）=0

所以f（n）=n（n+1）/2

所以当n属于正整数时，1/f（n）=2/〔n（n+1）〕=2〔1/n-1/（n+1）〕

所以lim[1/f(1)+1/f(2)+1/f(3)+....+1/f(n)]

=lim〔2*（1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4.....+1/n-1/（n+1））〕

=lim〔2*（1-1/（n+1））〕

=2