Question

高一函数！

已知函数f(x)=2cos∧2ωx+2sinωxcosωx+1 (x∈R,ω>0)的最小正周期为π/2
（1）求ω
（2）求f(x)的单调递增区间
（3）若│f(x)-m│≤2在区间[0，π/4]上恒成立，求m的取值范围

Answer 1

解：1；f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1
=cos2ωx+sin2ωx+2
=√2sin(2ωx+π/4）+2
T=2π/2ω=π/2
所以ω=2 f(x)=√2sin(4x+π/4）+2
2；令-π/4+2kπ≤4x+π/4≤π/4+2kπ
解得：-3π/16+kπ/2≤x≤π/16+kπ/2 k∈Z
所以f(x)的单调递增区间为【-3π/16+kπ/2，π/16+kπ/2】 k∈Z

3；由2可知，f(x)在【0，π/16】递增，在（π/16，π/4】递减
且f(0)=3 f(π/16)=2+√2 f(π/4）=1
所以f(x)在【0,π/4】上的值域为【1，2+√2】
若│f(x)-m│≤2在区间【0，π/4】上恒成立
则有｛-2≤1-m≤2
｛-2≤2+√2-m≤2

解得：√2≤m≤3
所以m的取值范围为【√2，3】。