Question

高二解析几何题

直线Y=aX+1与双曲线3X^2-Y^2=1相交于A.B两点，问是否存在实数a，使A,B两点关于直线Y=2X对称《存在，求出实数a，不存在，说明理由。

详细作答，有额外悬赏.

Answer 1

假设存在AB两点在双曲线上并关于直线Y=2x对称，那么AB的斜率=-1/2

因此 Y=-1/2x+1,=>x=2-y
代入双曲线方程：=》
3(2-y)^2-y^2-1=0
=>8y^2-12y+10=0
=>4y^2-6y+5=0
=>y1+y2=3/2
=>x1+x2=4-(y1+y2)=4-3/2=5/2
假设AB中点M的坐标是（xm,ym)
那么
xm=(x1+x2)/2=5/4
ym=(y1+y2)/2=3/4
因此AB两点中点M的坐标是（5/4,3/4)
而这个点必定在Y=2x上，但3/4不等于5/4*2,因此矛盾，假设不成立，因此不存在这样的实数a。

Answer 2

对称那么两点连线垂直Y=2X 即a=-1/2 Y=-1/2X+1代入曲线发现两点中点不在Y=2X 上 导出矛盾 不存在