Question

1.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC﹑

ED.(1) 求证：BC²=BD•BE；(2) 若CD：CE=1：2，⊙O的半径为3，求OA的长.

Answer 1

1，连接CD。因为ED是直径，所以∠ECD是直角，所以∠DEC+∠EDC=90°。再连接OC，因为OC=OD，所以∠ODC=∠OCD。因为OA=OB，所以O点在AB的中垂线上，因为AC=BC，所以C点在AB中垂线上，所以OC所在直线是AB的垂直平分线，所以OC⊥AB，所以∠OCD+∠DCB=90°，又因为∠ODC=∠OCD且∠DEC+∠EDC=90°，所以∠DEC=∠DCB，而∠B=∠B，所以△DCB∽△CEB，则DB/BC=BC/BE，即BC²=BD•BE
2，因为△ECD是直角三角形，且CD：CE=1:2，所以ED：CD=√5:1，而ED=6，所以CD=6/√5,CE=12/√5,而CD:CE=BC:BE=BD:BC,而BE=BD+6,BC=2BD,根据第一问中的式子可得方程4BD^2=BD*(BD+6)。解得BD=2，那么OA=OB=BD+2=5