Question

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连EC，CD

（1）求证:直线AB是圆O的切线
(2)试猜想BC、BD、BE三者之间的等量关系，并加以证明
（3）（1）试猜想直线AB于⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=BD•BE；（3）若tan∠CED=12，⊙O的半径为3，求OA的长

Answer 1

⑴连接OC，∵OA=OB，AC=BC，OC=OC，
∴ΔOCA≌ΔOCB，∴∠COA=∠OCB，
又∠OCA+∠OCB=180°，
∴∠OCA=90°，∴AB是圆O的切线。
⑵BC^2=BD*BE。
理由：由⑴知：∠OCD+∠BCD=90°，
∵DE是直径，∴∠DCE=90°，即∠OCD+∠OCE=90°，
∴∠DCB=∠OCE，又OC=OE，∴∠E=∠OCE=∠BCD，
∠B为公共角，∴ΔBCD∽ΔBEC，∴BC/BD=BE/BC，
∴BC^2=BD*BE。
⑶tan∠CED=CD/CE=1/2，
∴BD/BC=CD/CE=1/2，
∴BC=2BD，
∴4BD^2=BD*BE，BE=4BD，BD=1/3DE=2，
∴BC=4，
在RTΔACO中，OC=3，AC=BC=4，
∴OA=√AC^2+OC^2)=5。

Answer 2

1. 证明：在三角形OAB中，
   

   OA=OB，CA=CB所以C是AB中点，连接OC则OC垂直于AB 又直线AB经过⊙O上的点C所以，直线AB是圆O的切线

2  连接OC,因为三角形OEC是过直径的内接三角形，所以角ECD=90

      又由一问中，OCB=90，因为，OCE+OCD=ECD=90

                                                    BCD+OCD=OCB=90

所以，OCE=BCD 又OCE是等腰三角形，所以OCE=OEC  所以BCD=OEC 

 又公共角B

所以BDC与BCE 相似   所以  BC2=BD•BE

3  因为tan∠CED=12  即为：CD/CE=12    DE=6

由勾股定理知：CE =    CD=