Question

如图，抛物线经过A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三点。 （1）求出抛物线的解析式

（2）P是抛物线上一点，过P作PM⊥x轴，垂直为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由。 （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D坐标 没图将就一下

Answer 1

（1）设二次函数为y=ax^2+bx+c代入A（4,0）B(1,0)C（0，-2）得a=-1/2,b=5/2则y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2(2)（2）假设存在,设P(x,y)则:当P在对称轴左侧时,即(1<x≤5/2)时,有:OC:OA=PM:AM即2:4=y:(4-x)y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2则[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]/(4-x)=1/2得x=2或x=4(舍)此时P点坐标为P(2,1)当P在对称轴右侧时,即(5/2≤x<4)时,有:OC:OA=(4-x):yy=(-1/2)x^2+(5/2)x-2则[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]/(4-x)=2得x=4(舍)或x=5(舍)即只存在一点P(2,1)使△PMA与△OAC相似
（3）△DCA的底AC固定,即高h在变.高即点D到AC的距离设点D(x,y)AC直线易求:y=(1/2)x-2即x-2y-4=0点到直线距离:|x-2y-4|/√(1^2+2^2)=|x-2[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]-4|/√(1^2+2^2)=|x^2-4x|/√5由题知x的范围是0≤x≤4则|x^2-4x|/√5的最大值在x=2时取得即此时D(2,1)为所求点.