Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

（1）设此抛物线的函数解析式为： y=ax 2 +bx+c（a≠0）， 将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得： 16a-4b+c=0 c=-4 4a+2b+c=0 解得 a= 1 2 b=1 c=-4 ， 所以此函数解析式为：y= 1 2 x 2 +x-4 ； （2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上， ∴M点的坐标为：（m， 1 2 m 2 +m-4 ）， ∴S=S △AOM +S △OBM -S △AOB = 1 2 ×4×（- 1 2 m 2 -m+4）+ 1 2 ×4×（-m）- 1 2 ×4×4 =-m 2 -2m+8-2m-8 =-m 2 -4m， =-（m+2） 2 +4， ∵-4＜m＜0， 当m=-2时，S有最大值为：S=-4+8=4． 答：m=-2时S有最大值S=4． （3）设P（x， 1 2 x 2 +x-4）． 当OB为边时，根据平行四边形的性质知PB ∥ OQ， ∴Q的横坐标的绝对值等于P的横坐标的绝对值， 又∵直线的解析式为y=-x， 则Q（x，-x）． 由PQ=OB，得|-x-（ 1 2 x 2 +x-4）|=4， 解得x=0，-4，-2±2 5 ． x=0不合题意，舍去． 如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）． 由此可得Q（-4，4）或（-2+2 5 ，2-2 5 ）或（-2-2 5 ，2+2 5 ）或（4，-4）．

Answer 2

【解析】
（1）根据抛物线与x轴的交点A与C坐标设出抛物线的解析式方程，将B坐标代入即可确定出解析式；
（2）过M作x轴垂线MN，三角形AMB面积=梯形MNOB面积+三角形AMN面积-三角形AOB面积，求出即可；
（3）根据题意设p（a，
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a2+a-4），则Q（a，-a），分三种情况分别讨论即可求得．
【解答】
(1)设抛物线解析式为y=a(x+4)(x−2)，
将B(0,−4)代入得：−4=−8a,即a=12，
则抛物线解析式为y=12(x+4)(x−2)=12x2+x−4；

(2)过M作MN⊥x轴，
将x=m代入抛物线得：y=12m2+m−4,即M(m,12m2+m−4)，
∴MN=|12m2+m−4|=−12m2−m+4，ON=−m，
∵A(−4,0),B(0,−4)，
∴OA=OB=4，
∴△AMB的面积为S=S△AMN+S梯形MNOB−S△AOB=12×(4+m)×(−12m2−m+4)+12×(−m)×(−12m2−m+4+4)−12×4×4=2(−12m2−m+4)−2m−8=−m2−4m=−(m+2)2+4，
当m=−2时，S取得最大值，最大值为4；
(3)如果使以点P、Q、B. O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥AB)，则PQ=OB，
设p(a,12a2+a−4),则Q(a,−a)，如图，

①当点P在点Q上面时,则12a2+a−4−(−a)=4，
解得a=−2+25√或a=−2−25√，
∴Q1(−2+25√,2−25√),Q2(−2−25√,2+25√).
②当点Q在点P上面时,−a−(12a2+a−4)=4，
解得a=0或a=−4，
∴Q3(−4,4)；
③当OB是对角线时,∵Q3(−4,4),∴P3(−4,0)，
∴P4(4,0)，
∴Q4(4,−4)，
∴P、Q、B. O为顶点的四边形为平行四边形,相应的点Q的坐标为(−4,4)或(−2+25√,2−25√)或(−2−25√,2+25√),(4,−4).
OK