Question

如图所示，三角形ABc是一个直角三角形，分别以它的三条边为直径作半圆，其中AB的长是a，c点是可以

如图所示，三角形ABc是一个直角三角形，分别以它的三条边为直径作半圆，其中AB的长是a，c点是可以移动的点，当点c在什么位置时阴影部分的面积最大，并求出这时的阴影面积？

Answer 1

设AC=x，BC=y，则：x^2+y^2=a^2，
——》a^2>=2xy，
——》xy<=a^2/2，(等号成立时，x=y=√2a/2)，
S半圆AC=1/2*π*(x/2)^2=πx^2/8，
S半圆BC=1/2*π*(y/2)^2=πy^2/8，
S半圆AB=1/2*π*(a/2)^2=πa^2/8，
S△ABC=1/2*xy，
——》S阴影=S半圆AC+S半圆BC+S△ABC-S半圆AB，
=xy/2+π(x^2+y^2-a^2)/8
=xy/2
<=a^2/4，
即当AC=BC=√2a/2时，
S阴影max=a^2/4。

Answer 2

C点在弧中间位置时阴影面积最大。
其值为
S阴影=S三角形+2S小半圆-S大半圆
= (a/2)^2+(a/2√2)^2*π - 1/2*(a/2)^2*π
= a^2/4

Answer 3

首先，直觉就是等腰直角的时候，下面是计算：
先假设顶点的对边就用顶点小写字母
已知条件a^2+b^2 = c^2
阴影的面积表达式为(1/2)π(a/2)^2 + (1/2)π(b/2)^2 -( (1/2)π(c/2)^2 - (1/2)a*b )

根据已知条件化解： a*b/2,也就是求这个表达式的最大值
另一个隐含条件：2a*b <= a^2 + b^2 = c^2，当a = b时取最大值
最大值为(c^2)/4，用你的a表示就是当C点在圆弧中间，这个直角三角形为等腰直角三角形时，阴影面积最大，为(a^2)/4