Question

设函数y＝f(x)是定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(1/3)＝1

设函数y＝f(x)是定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(1/3)＝1 ①判断函数的奇偶性②如果f(x)＋f(2＋x)＜2求x的取值范围 求详解

Answer 1

解：（1）∵函数满足f（x+y）=f（x）+f（y），

∴令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0．

∴f（0）=0． 

（2）∵y=f（x）的定义域为R，

f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，

∴y=-x，得f（-x）+f（x）=f（0）=0，

∴f（x）是奇函数． 

Answer 2

令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0;
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,f(-x)=-f(x),
x定义域是关于原点对称的,
所以函数为奇函数;f(x)+f(2+x)<2,
所以f(x+2+x)=f(2x+2)<2,若x>0,y>0,f(x+y)-f(x)=f(y),
又x>0时 f(x)<0,
所以f(y)<0,f(x+y)-f(x)<0,x+y>x,
所以x>0,函数为单调递减.根据奇函数性质,函数在定义域R上为减函数.f(1/3+1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2,f(2/3)=2,f(2x+2)<f(2/3),2x+2>2/3,x>-2/3