Question

亟待解决！高三数学圆锥曲线题目！（请用高中知识解答，谢谢！）

在平面直角坐标系中,椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的焦距为2, 圆C是以原点O为圆心，a为半径的圆，现过点（a^2/c，0）作圆的两条切线互相垂直。
（2）过点M（1，0）作直线l，交椭圆于A、B两点，若M点是线段AB的一个三等分点，求直线l的方程。
注：第（1）问求出的椭圆的方程为：x^2/2+y^2=1。（老师用的是“定比分点坐标公式”，但这个定理没学过，急求高中知识解答！）
请尽快，谢谢！

Answer 1

设直线方程为 y = k(x-1), 椭圆为y^2 = 1 - x^2/2

(k^2 + 1/2)x^2 -2k^2 x + k^2 - 1 = 0

解得A，B的x 坐标为

Ax = (2k^2 + 根号（4k^4 - 4(k^2-1)(k^2 + 1/2)))/(2(k^2+1/2))

Bx = (2k^2 - 根号（4k^4 - 4(k^2-1)(k^2 + 1/2)))/(2(k^2+1/2))

AM=1/3 BM, AM = 1/2 BM

Ax - Mx = 1/2 (Mx - Bx)

Ax - 1 = 1/2 - 1/2 Bx

Ax + 1/2 Bx = 3/2

得k = +/- 根号（7/2）

Answer 2

你简单画个图就明白白了。
设直线的方程为 y=k(x-1)
设 A点x坐标为x，可以看出B点x坐标为-2x（或-x/2）
于是有: A(x, k(x-1)) B(-2x, k(-2x-1))
或：A(x, k(x-1)) B(-x/2, k(-x/2-1))
代入椭圆方程求到 x和k。
方程组稍嫌复杂，但是是可解的。