Question

大学高数题

二重积分x^2e^(-y^2)dxdy，其中D是以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形闭区域，计算该二重积分。（D是这个二重积分的范围，可以选极坐标或者直角坐标来计算）

Answer 1

∫∫ x^2e^(- y^2) dxdy
= ∫(0→1) e^(- y^2) dy ∫(0→y) x^2 dx
= ∫(0→1) e^(- y^2) * 1/3 * y^3 dy
= (1/3)∫(0→1) e^(- y^2) * y^2 * (- 1/2) d(- y^2)
= (- 1/6)∫(0→1) y^2 d[e^(- y^2)]
= (- 1/6)y^2e^(- y^2)：(0→1) + (1/6)∫(0→1) e^(- y^2) d(y^2)
= (- 1/6)e^(- 1) - (1/6)∫(0→1) e^(- y^2) d(- y^2)
= - 1/(6e) - (1/6)e^(- y^2)：(0→1)
= - 1/(6e) - (1/6)[e^(- 1) - 1]
= - 1/(6e) - 1/(6e) + 1/6
= 1/6 - 1/(3e)

Answer 2

矮油！自己做啦，二重积分几何意义就是求体积