Question

．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，且 ，抛物线的顶点为P．

（1）求抛物线的解析式；
（2）联结AC、PC、BC、PB，试判断△AOC与△PCB是否相似？说明理由；
（3）过点P作PH⊥x轴于点H，在PH的右侧的抛物线上有一动点M（点M与顶点P不重合），过点M作MN⊥BP于点N，当△MPN与△BPH相似时，求点M的坐标．第3小题有2种情况吗

Answer 1

解：
1)因为OB=OC 所以c（0，3）
设出y=a（x+3）（x-1） 代入c点得a=-1
所以解析式为y=-x²-2x+3
2）由解析式可求出p（-1，4）
OA=1 OC=3 又由勾股定理得BC=3√2 PC=√2
得出BC:OC=PC:OA
所以相似
3）当相似时有PH:MN=NP:BH 因为PH：BH=2
所以MN:NP=2 所以MN²:MP²=4：5
设M（x，y）则MN²=(2x-y+6)²/5
MP²=（x+1）²+（y-4）²
又因为y=-x²-2x+3
联立方程可解得M（1/3，20/9）