Question

已知椭圆x^2/4+y^2/3=1,直线l:y=4x+m,若椭圆上存在两个不同的点关于该直线L的对称。求m的取值范围

Answer 1

设关于直线l的两个对称点为M（x1,y1),N(x2,y2),直线MN和直线l垂直，两斜率乘积为-1，直线MN斜率k=-1/4，
M和N在椭圆上，将二者坐标分别代入椭圆方程，
x1^2/4+y1^2/3=1,(1),
x2^2/4+y2^2/3=1,(2),
(1)-(2)式，
(x1^2-x2^2)/4+(y1^2-y2^2)/3=1,
3/4+[(y1-y2)/(x1-x2)]/{[(y1+y2)/2]/[(x1-x2)/2]}=0,(3)
(y1-y2)/(x1-x2)为直线MN的斜率为-1/4,
设二直线交点为P（x0,y0),P为直线MN的中点，
y0=(y1+y2)/2,x0=（x1+x2)/2,
把以上关系代入（3）式，
3/4+(-1/4)*y0/x0=0,
y0=3x0,(4)
而P又在l上，
故y0=4x0+m,(5)
(4)式代入（5）式，
x0=-m,
y0=-3m,
P点在椭圆内，不可能在椭圆上，否则因为MN⊥l，必然有一点在椭圆外，
故x0^2/4+y0^2/3<1,
(-m)^2/4+(-3m)^2/3<1,
m^2<4/13,
∴-2√13/13<m<2√13/13。

Answer 2

设椭圆上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=4x+m对称，
AB中点为M(x0,y0)。则
3x1^2+4y1^2=12
3x2^2+4y2^2=12
相减得到：3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
由于M是AB的中点，所以x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
既6x0(x1-x2)+8y0(y1-y2)=0
则k=y1-y2/x1-x2=-3x0/4y0=-1/4.
y0=3x0.代入直线方程y=4x+m
得x0=-m,y0=-3m
因为(x0,y0)在椭圆内部。则3m^2+4(-3m)^2<12
解得-2√13/13<m<2√13/13
补充：利用点差法和对称关系得到x0和y0的关系是关键。