Question

一道高中数学向量题。

我需要一个总结，就是关于三角形内特殊一点的向量关系。比如说OA+OB+OC=零向量，那么这一点就是三角形的重心。这一类的比如说外心、内心、垂心等，这些又有哪些向量关系呢？
可以发网址，也可以直接手打上来，但一定要有证明过程好吗。
各位老师、学长们如果能帮助我的话，感激不尽。

Answer 1

【一些结论】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）
3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）
4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

【以下是一些结论的有关证明】
1.
O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，
延长CO交AB于D，根据向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,
上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，
所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。

必要性：
已知O是三角形内心,
设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，
∵O是内心
∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE
过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，
所以四边形OMAN是平行四边形
根据平行四边形法则，得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0

2.
已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
求P点轨迹过三角形的垂心

OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},
根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC
∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，
即AP•BC=0，
P点轨迹过三角形的垂心

3.
OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线
根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,
所以|AB|sinB=|AC|sinC,
所以AP与AB+AC共线
AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，
∴点P过三角形重心。

4.
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)

OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)
=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
=0，
所以向量AP与向量BC垂直，
P点的轨迹过垂心。

5.
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC方向上的单位长度向量，
向量AB与AC的单位向量的和向量，
因为是单位向量，模长都相等，构成菱形，
向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线，
易知是角平分线，所以P点的轨迹经过内心。

三角形重心表达式: 向量OA+向量OB+向量OC=零向量
证明：设AD为三角形ABC中BC边的中线，O为三角形的重心
延长OD到E,使OD=DE,连结BE,CE
且有BD=DC,所以四边形BOCE为平行四边形
所以向量OB+向量OC=向量OE
o为重心，将AD分为2：1两部分，即AO=2OD=OE
综上向量OA=-向量OE=-（向量OB+向量OC）
即：向量OA+向量OB+向量OC=0
所以o是三角形的重心

O是三角形的垂心: 向量OA的平方+向量BC的平方=向量OB的平方+向量CA的平方=向量OC的平方+向量AB的平方
证明：向量OA平方+向量BC平方=向量OB平方+向量CA平方
即向量OA平方-向量OB平方=向量CA平方-向量BC平方
即（向量OA-向量OB）（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）（向量CA+向量BC）
即向量BA•（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）•向量BA
即向量BA•（向量OA-向量CA+向量OB+向量BC）=0
即2向量BA•向量OC=0
∴OC⊥AB
同理可证OA⊥CB，OB⊥AC。
所以O是三角形的垂心.