Question

高考数学中,一般求动点轨迹的技巧.

一般如何求动点的轨迹方程.怎么确定是求椭圆还是双曲线之类的?

Answer 1

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Answer 2

一、 直接法
根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式
、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了。
例：（06全国Ⅰ）在平面直角坐标系 中，有一个以 和 为焦点、离心率为 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分
为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与 轴的交点分别为A、B，且向量 。
求：点M的轨迹方程；
解: 椭圆方程可写为: y2a2 + x2b2 =1 式中a>b>0 , 且 a2－b2 =33a =32 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方
程为: x2+ y24 =1 (x>0,y>0). y=21－x2 (0<x<1) y '=－ 2x1－x2
设P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=21－x02 , y '|x=x0= － 4x0y0 ,得切线AB的方程为:
y=－ 4x0y0 (x－x0)+y0 . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x=1x0 , y= 4y0 .
由OM→=OA→ +OB→得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:
1x2 + 4y2 =1 (x>1,y>2)
二、代入法（相关点法）
有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。如
果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满
足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续
好几年高考都考查。
例二 （03全国）如图，从双曲线上一点Q引直线的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。
分析：从题意看动点P的相关点是Q，Q在双曲线上
运动，所以本题适合用相关点法。
解：设动点P的坐标为（x,y），点Q的坐标为（x1,y1），
则N点的坐标 为（2x—x1,2y—y1）
∵ N在直线x+y=1上,
∴2x—x1+2y—y1=2 ①
又∵PQ垂直于直线x+y=2
∴ 即x—y + y1—x1=0 ②
联立①②解得 ③
又点Q在双曲线 上，∴ ④
③代入④，得动点P的轨迹方程是
三、定义法
若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。
例三、（2005年广州二模）动圆M过定点P（－4，0），且与圆C：x2+y2－8x=0相切，求动圆圆心M的轨
迹方程。
分析：根据题意||MC|－|MP||=4，说明点M到定点C、P的距离之差的绝对值为定值，故点M的轨迹是双曲
线。所以本题适宜用定义法。
解：根据题意||MC|－|MP||=4，说明点M到定点C、P的距离之差的绝对值为定值，故点M的轨迹是双曲线。
2a=4, ∴a=2,又c=4 ∴b=
故动圆圆心M的轨迹方程为
四、参数法
有时求动点应满足的几何条件不易得出，出无明显的相关点，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的
运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标（x,y）中的分别随另
一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，消去参数，就
得到普通方程。
选参数时，必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，因参数不同，会导致运算
量的不同，常见的参数有角度、直线的斜率、点的横纵坐标、线段长度等。
例四．（2006年深圳一模）过抛物线y2=4px （p>0）的顶点作互相垂直的两弦OA和OB。求AB中点P的
轨迹方程。
分析：动点P是AB的中点，如何把P与A、B联系起来？而A、B在抛物线上运动，主要的条件是OA与OB
垂直。本题适合用参数法。
解：设OA的斜率为k >0
则由 解得A（ ）
由 解得B（ ）
设AB中点P（x,y），则
消去k得中点P的轨迹方程为
五、交轨法
在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参
数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法经常与参数法并用。
例五 （2003年全国）已知常数，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC
、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图）。问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定
值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。
分析：动点P是动直线OF与EG的交点，而两条直线是
运动的，由此特征，可用交轨法。
解：如图，设P（x,y）
按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a）,D（－2,4a）
设
由此有E(2,4ak),F(2－4k,4a),G(－2,4a－4ak)
直线OF的方程为：2ax+(2k－1)y=0 ①
直线GE的方程为 ：－a(2k－1)x＋y－2a=0 ②
由①②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程2a2x2＋y2－2ay=0
整理可得。

Answer 3

有坐标系时，通常是假设该点的坐标，比如(x,y)。再根据该点满足的关系列出等式（或者不等式），得出x与y的关系式。
而当没有坐标系时，就要靠自己认真的分析与推测了。这与自己解题的经验有关，不妨去找一些相同类型的题目去解答，总结出其中的规律，相信你有很大的收获的。

Answer 4

这个具体问题具体分析吧，你这么问，还不如直接去百度呢