Question

已知实数x,y满足方程x＾2＋y＾2－4x+1＝0（1）求y-x的最大值和最小值

Answer 1

1.
设y-x=b,即y=x+b
代入x^2＋y^2-4x+1＝0中
则x^2+(x+b)^2-4x+1=0
2x^2+(2b-4)x+b^2+1=0.
因为x有实数解
所以△ =(2b-4)^2-4*2*(b^2+1)≥0
即b^2+4b-2≤0
解得-2-√6≤b≤-2+√6
即y-x的最大值和最小值分别为:-2+√6,和-2-√6

2.
x^2＋y^2-4x+1＝0即(x-2)^2+x^2=3
表示以（2，0）为圆心，以√3为半径的圆
所以x^2＋y^2-4x+1＝0上到原点的最远点为（2+√3，0），最近点为（2-√3，0）
而x^2＋y^2表示圆上的点到原点距离的平方
所以x^2＋y^2的最大值为（2+√3）^2=7+4√3,最小值为（2-√3）^2=7-4√3