Question

设函数f(x)=x^3-3ax^2+3bx的图像与直线12x+y-1=0相切于点(1,f(1)),(1)求a,b(2)讨论函数f(x)的单调性及极值

Answer 1

f(1)=1-3a+3b
y|(x=1) =-11 (*)
相切与（1，-11）
直线斜率为k=-12
对f(x)求导 得:
f'(x)=3x^2-6ax+3b
f'(1)=-12 (**)

(*)与（**） 联立
1-3a+3b=-11
3-6a+3b=-12

a=1 b=-3
f(x)=x^3-3x^2-9x

(2)对f(x) 求导得：f'（x）=3x^2-6x-9
令f'(x)=0
x=-1 和 3
f（x）在（-无穷，-1）单调递增
在（-1，3）单调递减
在（3，+无穷）单调递增
无最值

Answer 2

点（1，f(1))代人直线得
12+y-1=0
y=-11
代人f(x)得
-11=1-3a+3b
a-b=4 (1)
f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6ax+3b
f'(1)=3-6a+3b=-12
2a-b=5 (2)
(1)(2)解得
a=1，b=-3

2)f(x)=x^3-3x^2-9x
f'(x)=3x^2-6x-9=0
x1=3,x2=-1
x>3时 f'(x)>0, f(x)单调递增
-1<x<3 f'(x)<0，f(x)单调递减
x<-1时 f'(x)>0，f(x)单调递增
x=3时，有极小值f(3)=27-27-27=-27
x=-1时，有极大值f(1)=-1-3+9=5