Question

这道中考数学几何证明题怎么做？

在△ABC中，P是BC边上的一点，以P为顶点作∠MPN，使得∠MPN+∠A=180°.
(1)如图1，∠M1PN1和∠M2PN2是两个不重合且满足题意的角，连接M1N1、M2N2，求证：△PM1N1∽△PM2N2.
(2)如图2，探究△ABC及点P满足什么条件时，△PMN∽△ABC，并说明理由.
(3)如图2，探究△ABC及点P满足什么条件时，△PMN∽△ACB，并说明理由.

Answer 1

证明要点：

∠MPN+∠A=180° ===> PMNA四点共圆 ===> ∠1＝α、∠2＝β。

（1）由于∠1＝α、∠2＝β，因此当P点为定点时，∠1和∠2固定不变。

         因此有△PM1N1∽△PM2N2。

（2）△PMN∽△ABC ===> ∠MPN＝∠A＝90°

         ∠2＝∠B＝β 、∠1＝∠C＝α  ===> AP⊥BC

         因此∠BAC为直角、AP为垂线。

（3）类似于（2），∠BAC为直角、P为中点。