Question

y=1+xe^y，求隐函数的二阶导数，高数

Answer 1

计算过程如下：

y=1+xe^y

y'=(1+xe^y )'

y'=(xe^y)'

y'=1*e^y+xe^y*y'

y'(1-xe^y)=e^y

y'=e^y/(1-xe^y)

因为y=1+xe^y，则1-xe^y=2-y，得y'=e^y/(2-y)

即dy/dx=e^y/(2-y)

dy/dx=e^y/(2-y)

d(dy/dx)/dx=d(e^y/(2-y))

d(dy/dx)/dx=[e^y*dy*(2-y)-e^y*(-dy)]/(2-y)^2

因为dy/dx=e^y/(2-y)，则

d(dy/dx)/dx=[e^2y+e^2y/(2-y)]/(2-y)^2

d(dy/dx)/dx=e^2y[1+1/(2-y)]/(2-y)^2

推理过程：

如果不限定函数连续，则式中正负号可以随x而变,因而有无穷个解；如果限定连续，则只有两个解（一个恒取正号,一个恒取负号）；如果限定可微，则要排除x=±1，因而函数的定义域应是开区间(-1<x<1)，但仍然有两个解。

如果还限定在适合原方程的一个点(x,y)=(x0,y0)的邻近范围内，则只有一个惟一的解（当起点(x0,y0)在上半平面时取正号，在下半平面时取负号）。

Answer 2

追答

注意，楼上答案错误，第五行括号里的第三项e^2y并没有乘dy/dx!

Answer 3

如图