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2014-06-21 · 知道合伙人教育行家
无脚鸟╰(⇀‸↼)╯
知道合伙人教育行家
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现在为上海海事大学学生，在学习上有一定的经验，擅长数学。
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设y=(1+x^2)^[1/(1-cosx)]
lny=ln{(1+x^2)^[1/(1-cosx)]}
=[1/(1-cosx)]*ln(1+x^2)
=ln(1+x^2)/(1-cosx)
lim(x→0) lny ＝lim(x→0) ln(1+x^2)/(1-cosx)
【注：是0/0型，故运用洛必达法则,即对分子分母求导，】
＝lim(x→0) [ln(1+x^2)]'/(1-cosx)'
＝lim(x→0) [2x/(1+x^2)]/sinx
＝{lim(x→0) [2/(1+x^2)]}*{lim(x→0) x/sinx}
＝2*{lim(x→0) 1/(sinx/x)}
＝2/{lim(x→0) sinx/x}
＝2/1
＝2
lim(x→0)（1+x²)^[1/(1-cosx)]=lim(x→0) y
=lim(x→0) e^(lny)
=e^{lim(x→0) lny}
=e^2
lny=ln{(1+x^2)^[1/(1-cosx)]}
=[1/(1-cosx)]*ln(1+x^2)
=ln(1+x^2)/(1-cosx)
lim(x→0) lny ＝lim(x→0) ln(1+x^2)/(1-cosx)
【注：是0/0型，故运用洛必达法则,即对分子分母求导，】
＝lim(x→0) [ln(1+x^2)]'/(1-cosx)'
＝lim(x→0) [2x/(1+x^2)]/sinx
＝{lim(x→0) [2/(1+x^2)]}*{lim(x→0) x/sinx}
＝2*{lim(x→0) 1/(sinx/x)}
＝2/{lim(x→0) sinx/x}
＝2/1
＝2
lim(x→0)（1+x²)^[1/(1-cosx)]=lim(x→0) y
=lim(x→0) e^(lny)
=e^{lim(x→0) lny}
=e^2
更多追问追答
追问
那能不能直接在指数上运用无穷小替换呢？我换了之后结果似乎是一样的，是不是这种做法不对？
追答
无穷小只能在作为因子时代入，不然尽管结果是对的，但是原理不对
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