Question

设各项均为正数的数列{a n }的前n项和为S n ，已知2a 2 =a 1 +a 3 ，数列{ }是公差为d的等差数列。（I）

设各项均为正数的数列{a n }的前n项和为S n ，已知2a 2 =a 1 +a 3 ，数列{ }是公差为d的等差数列。（I）求数列{a n }的通项公式（用n，d表示）；（Ⅱ）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m +S n >cS k 都成立，求证：c的最大值为 。

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Answer 1

解：（I）由题设知 则当 时， 由 得 解得 故当 时 又 所以数列 的通项公式为 ； （Ⅱ）由 及 得 于是对满足题设的m，n，k，m≠n，有 所以c的最大值 另一方面，任取实数 设k为偶数， 则m，n，k符合条件，且 于是只要 即当 时，就有 所以满足条件的 从而 因此c的最大值为 。