Question

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为Sn，bn＝1Sn，（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求证：b

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为Sn，bn＝1Sn，（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求证：b1+b2+…+bn＜2．

Answer 1

（1）∵等差数列{a_n}中a₁=1，公差d=1
∴Sn＝na1+

n(n?1)

2

d＝

n2+n

2

∴bn＝

2

n2+n

…（4分）
（2）∵bn＝

2

n2+n

＝

2

n(n+1)

…（6分）
∴b1+b2+b3+…+bn＝2(

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)
=2(1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+

1

3

?

1

4

+…+

1

n

?

1

n+1

)…（8分）
=2(1?

1

n+1

)…（11分）
∵n＞0，
∴0＜

1

n+1

＜1
∴0＜2(1?

1

n+1

)＜2
∴b₁+b₂+…+b_n＜2．            …（14分）