Question

在数列{an}中，已知a1=2，an+1=3an+3n+1-2n（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n

在数列{an}中，已知a1=2，an+1=3an+3n+1-2n（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）由a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ（n∈N^*）
可得

an+1

3n+1

?

an

3n

＝1?

1

3

(

2

3

)n（2分）
令

an

3n

＝bn，则bn+1?bn＝1?

1

3

(

2

3

)n（3分）
∴当n≥2时，b_n-b_n-1+b_n-1-b_n-2+…+b₃-b₂+b₂-b₁=(n?1)?

1

3

[(

2

3

)+(

2

3

)2++(

2

3

)n?1]（5分）
=(n?1)?

2

3

[1?(

2

3

)n?1]
∴bn＝b1+(n?1)?

2

3

[1?(

2

3

)n?1]bn＝(n?1)+(

2

3

)n（6分）
∴a_n=3ⁿb_n=2ⁿ+（n-1）3ⁿ（7分）
（2）令T_n=3²+2?3³+3?3⁴+…+（n-2）3^n-1+（n-1）3ⁿ，①（8分）
    3T_n=3³+2?3⁴+3?3⁵+…+（n-2）3ⁿ+（n-1）3ⁿ⁺¹②（9分）
①式减去②式得：?2Tn＝32+33+…+3n?(n?1)3n+1＝

3n+1?32

2

?(n?1)?3n+1，（10分）
∴Tn＝

(n?1)3n+1

2

?

3n+1?32

4

＝

(2n?3)?3n+1+9

4

．（12分）
∴数列{a_n}的前n项和

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