Question

已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，定义域在R上的奇函数g(x)过点（—1,1）且g(X)=f(x-1),

则f(2007)+f(2008)=

Answer 1

g(x)是奇函数，因此：
g(-1)=-g(1)=1
=>g(1)=-1
又
g(1)=f(0)
=>f(0)=-1
f(1)=f(-1)=f(0-1)=g(0)=0

g(x)=f(x-1)
g(-x)=f(-x-1)=f(-(x+1))=f(x+1)
=>f(x+1)=-g(x)
g(x)=f(x-1)
=>f(x+1)=-f(x-1)
=>f(x+2)=-f(x)
=>f(x+4)=-f(x+2)=f(x)

f(2008)=f(0+4*502)=f(0)=-1
f(2007)=-f(2005)=-f(1+4*501)=-f(1)=0
=>
f(2007)+f(2008)= 0-1=-1

Answer 2

定义域在R上的奇函数g(x)过点（—1,1）
g(-1)=1,→g(1)=-1,→
g(2008)=-2008,g(2009)=-2009
又g(X)=f(x-1),
g(2008)=f(2007)-2008,g(2009)=f(2008)=-2009
∴f(2007)+f(2008)= -2008-2009=-4017

Answer 3

解：令x=0 g(0)=f(-1)=0(奇函数性质)
令g(1)=-g(-1)=-1 f(0)=g(1)=-1
因为g(-x)=f(-x-1)=f(x+1)=-g(x) g(x)=f(x-1)
则f(x+1)=-f(x-1)
这样的话 f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1)
因此f(x)是以4为周期的偶函数

f(2007)+f(2008)=f(-1)+f(0)=0-1=-1