Question

已知函数f(x)的定义域为R，且函数f(x-1)为奇函数，函数f(x+1)为偶函数，则

A.f(x)为奇函数
B.f(x)为偶函数
C.f(x+5)为偶函数
D.f(x+7)为奇函数

这题我把图像画了出来，图像是关于（-1，0）对称，和关于x=1对称，画出来发现CD都是对的，答案是D，希望高手解析，最好能帮我把图像画出来，让我明白我哪画错了

Answer 1

选C。

令g(x)=f(x-1)

因为g(x)是奇函数，所以g(-x)=-g(x)即：

f(-x-1)= - f(x-1)     

调整成显性表达式为：

f(-1+x)= - f(-1-x)① (这个式子说明了f(x)图像关于点(-1,0)对称）

f(1+x)=f(1-x)②(这个式子说明了f(x)图像关于直线 "x=1" 对称）

挖函数的周期：T=8

由②可知：f(1+x)=f(-x+1),  再由①右边   f(负变量-1) = - f(变量--1)(左)得出：

f(1+x) = f(-x+1)=f[-(x-2)-1]= -f[(x-2)-1]= - f(x-3)

把左右的x换成 x+3得：

f(x+4)= - f(x)

f(x+8)= - [ f(x+4)] = - [ -f(x)]=f(x)

所以T=8

性质

1、两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

2、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3、两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

Answer 2

首先用专业解法：

1 .令g(x)=f(x-1)

因为g(x)是奇函数，所以g(-x)=-g(x)即：

f(-x-1)= - f(x-1)     

调整成显性表达式为：

f(-1+x)= - f(-1-x)     ①   (这个式子说明了f(x)图像关于点(-1,0)对称）

2.令h(x)=f(x+1);

因为h(x)是偶函数，所以h(-x)=h(x),即：

f(-x+1)=f(x+1) 

显性表达式：

f(1+x)=f(1-x)          ②   (这个式子说明了f(x)图像关于直线 "x=1" 对称）

挖函数的周期：T=8

由②可知：

f(1+x)=f(-x+1),  再由①右边   f(负变量-1) = - f(变量--1)(左)得出：

f(1+x) = f(-x+1)=f[-(x-2)-1]= -f[(x-2)-1]= - f(x-3)

把左右的x换成 x+3得：

f(x+4)= - f(x)

f(x+8)= - [ f(x+4)] = - [ -f(x)]=f(x)

所以T=8

f(x+5)=f[(x+4)+1]()=f[-(x+4)+1]=f(-x-3)=f(-x-3+8)=f(-x+5)

此式说明f(x+5)为偶函数，选【C】