Question

已知函数f(x)的定义域R,且满足f(x)是偶函数，f(x-1)是奇函数(1)求证：f(x)是一个周期函数，并求出其周...

已知函数f(x)的定义域R,且满足f(x)是偶函数，f(x-1)是奇函数(1)求证：f(x)是一个周期函数，并求出其周期，（2）若f(1)2013,求f(2013)的值

Answer 1

解
理解清楚，函数奇偶性是针对x和-x来讲的，
因此，据题意：因为偶：f(-x)=f(x),则f(-x-1)=f(x+1)；
因为奇：f(-x-1)=-f(x-1);
综上：f(x+1)=-f(x-1),
即f(x+2)=-f(x),f(x)=-f(x-2),
则f(x+2)=f(x-2),
即f(x+4)=f(x),
这是周期函数，4为周期

Answer 2

因为偶：f(-x)=f(x),则f(-x-1)=f(x+1)；
因为奇：f(-x-1)=-f(x-1);
综上：f(x+1)=-f(x-1),
即f(x+2)=-f(x),f(x)=-f(x-2),
则f(x+2)=f(x-2),
即f(x+4)=f(x),
这是周期函数，4为周期
f(2013)=f(4*503+1)=f(1)=2013

Answer 3

(⊙o⊙)…
f(x-1)是奇函数，说明偶函数f(x)向左平移一个单位得到一个奇函数。
f(-x)=f(x),则f(-x-1)=f(x+1);
f(-x-1)=-f(x-1);
f(x+1)=-f(x-1),
f(x+2)=-f(x),f(x)=-f(x-2),
则f(x+2)=f(x-2),
即f(x+4)=f(x),
这是周期函数，4为周期