Question

（2013?杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满

（2013?杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．（1）求证：∠APE=∠CFP；（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，y＝S1S2．①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．

Answer 1

（1）证明：∵∠EPF=45°，
∴∠APE+∠FPC=180°-45°=135°；
而在△PFC中，由于PC为正方形ABCD的对角线，则∠PCF=45°，
则∠CFP+∠FPC=180°-45°=135°，
∴∠APE=∠CFP．

（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，
∴△APE∽△CFP，则

AP

CF

＝

AE

PC

．
而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC=

2

AB=4

2

，
又∵P为对称中心，则AP=CP=2

2

，
∴AE=

AP?PC

CF

=

2 2 ?2 2

x

=

8

x

．
如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，

P为AC中点，则PH∥BC，且PH=

1

2

BC=2，同理PG=2．
S_△APE=

1

2

PH?AE=

1

2

×2×

8

x

=

8

x

，
∵阴影部分关于直线AC轴对称，
∴△APE与△APN也关于直线AC对称，
则S_{四边形AEPN}=2S_△APE=

16

x

；
而S₂=2S_△PFC=2×