Question

（2013?通州区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D，过点D作A

（2013?通州区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．（1）求证：直线ED是⊙O的切线；（2）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求EOFO的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD．

∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，；
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴ED⊥DO，
∵点D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切线；           
       
（2）解：连接CB，过点O作OG⊥AC于点G，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OG⊥AC，
∴OG∥CB，
∴

AG

AO

＝

AC

AB

，
∵5AC=3AB，
∴

AG

AO

＝

3

5

，
设AG=3x，AO=5x，
∵DE⊥AE，ED⊥DO，
∴四边形EGOD是矩形，
∴EG=OD，AE∥OD，
∴DO=5x，GE=5x，AE=8x，
∵AE∥OD，
∴∠EAD=∠FDO，
∵∠AFE=∠DFO
∴△AEF∽△DFO，
∴

EF

FO

＝

AE

OD

，
∴

EF

FO

＝

8

5

，
∴

EO

FO

＝

13

5

．