Question

图1和图2中，优弧AB所在⊙O的半径为2，AB=23．点P为优弧AB上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，

图1和图2中，优弧AB所在⊙O的半径为2，AB=23．点P为优弧AB上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．（1）点O到弦AB的距离是______，当BP经过点O时，∠ABA′=______°；（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长：（3）若线段BA′与优弧AB只有一个公共点B，设∠ABP=α．确定α的取值范围．





Answer 1

（1）①过点O作OH⊥AB，垂足为H，连接OB，如图1①所示．
∵OH⊥AB，AB=2

3

，
∴AH=BH=

3

．
∵OB=2，
∴OH=1．
∴点O到AB的距离为1．
②当BP经过点O时，如图1②所示．
∵OH=1，OB=2，OH⊥AB，
∴sin∠OBH=

OH

OB

=

1

2

．
∴∠OBH=30°．
由折叠可得：∠A′BP=∠ABP=30°．
∴∠ABA′=60°．
故答案为：1、60．

（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．
∵BA′与⊙O相切，
∴OB⊥A′B．
∴∠OBA′=90°．
∵∠OBH=30°，
∴∠ABA′=120°．
∴∠A′BP=∠ABP=60°．
∴∠OBP=30°．
∴OG=

1

2

OB=1．
∴BG=

3

．
∵OG⊥BP，
∴BG=PG=

3

．
∴BP=2

3

．
∴折痕的长为2

3

．

（3）若线段BA′与优弧

AB

只有一个公共点B，
Ⅰ．当点A′在⊙O的内部时，此时α的范围是0°＜α＜30°．
Ⅱ．当点A′在⊙O的外部时，此时α的范围是60°≤α＜120°．
综上所述：线段BA′与优弧