已知：如图，AB是⊙O的直径，点P为BA延长线上一点，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC，垂足为D，交⊙O于E
已知：如图，AB是⊙O的直径，点P为BA延长线上一点，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC，垂足为D，交⊙O于E，连接AC、BC、EC．（1）求证：BC2=BD?BA；...
已知：如图，AB是⊙O的直径，点P为BA延长线上一点，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC，垂足为D，交⊙O于E，连接AC、BC、EC．（1）求证：BC2=BD?BA；（2）若AC=6，DE=4，求PC的长．
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解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∵PC为⊙O的切线，
∴∠BCD=∠BAC，（1分）
∵BD⊥PD，
∴∠BDP=∠BCA=90，
∴Rt△BDC∽Rt△BCA，（1分）
∴
＝
，
∴BC2=BD?BA．（1分）
（2）解：∵Rt△BDC∽Rt△BCA，
∴∠DBC=∠CBA，
∴EC=AC，
∴EC=AC=6，
∵∠DBC=∠CBA，
∴∠DCE=∠CBA，
∴Rt△CED∽Rt△BAC，
∴
＝
＝
＝
，
∴AB=9，（1分）
由勾股定理得BC＝
＝3
，
∵∠PCA=∠PBC，∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC，
∴
＝
＝
，（1分）
设PA=6m，则PC=3
m，
由切割线定理得PC2=PA?PB，
∴45m2=6m（6m+9），
解得m=6，
∴PC=18
．（1分）
∴∠BCA=90°，
∵PC为⊙O的切线，
∴∠BCD=∠BAC，（1分）
∵BD⊥PD，
∴∠BDP=∠BCA=90，
∴Rt△BDC∽Rt△BCA，（1分）
∴
| BC |
| BA |
| BD |
| BC |
∴BC2=BD?BA．（1分）
（2）解：∵Rt△BDC∽Rt△BCA，
∴∠DBC=∠CBA，
∴EC=AC，
∴EC=AC=6，
∵∠DBC=∠CBA，
∴∠DCE=∠CBA，
∴Rt△CED∽Rt△BAC，
∴
| DE |
| EC |
| AC |
| AB |
| 4 |
| 6 |
| 2 |
| 3 |
∴AB=9，（1分）
由勾股定理得BC＝
| AB2?AC2 |
| 5 |
∵∠PCA=∠PBC，∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC，
∴
| AC |
| BC |
| PA |
| PC |
| 6 | ||
3
|
设PA=6m，则PC=3
| 5 |
由切割线定理得PC2=PA?PB，
∴45m2=6m（6m+9），
解得m=6，
∴PC=18
| 5 |
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