Question

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D是劣弧AC的中点，DE⊥AB于H，交⊙O于点E，交AC于点F．（1）图中有哪

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D是劣弧AC的中点，DE⊥AB于H，交⊙O于点E，交AC于点F．（1）图中有哪些必相等的线段？（要求：不要标注其它字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不必写出推理过程．）（2）若过C点作⊙O的切线PC交ED延长线于P点，（请补全图形），求证：PF2=PD?PE；（3）已知AH=1，BH=4，求PC的长．

Answer 1

解答：（1）解：AO=BO，DH=EH，DF=AF，AC=DE；

（2）证明：连EC，AE，
则∠PFC是△ECF的一个外角，于是∠PFC=∠ACE+∠FEC；
∵DH⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴A是DE中点，即弧AD=弧AE，
∴∠AED=∠ACE，
∴∠ACE+∠FEC=∠AED+∠DEC=∠AEC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCA=∠AEC．
∴∠PCA=∠PFC，
∴PC=PF．
∵PC是切线
∴PC²=PD?PE，
∴PF²=PD?PE；

（3）解：在⊙O中，AH?HB=DH?HE=DH²，
∴DH＝

AH?HB

＝

1×4

＝2
设AF=x，则FH=2-x．
在Rt△AFH中，AH²+FH²=AF²
∴1+（2-x）²=x²，
∴x=

5

4

，即AF＝

5

4

．
于是DF＝

5

4

．
由（1）（2）知HE=HD=2，
(PD+

5

4

)2＝PD?(PD+4)，
解得PD＝

25

24

．
∴PF=PD+DF=

55

24

．
∴PC=PF=

55

24

．