Question

如图所示，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于C，BC和AD的延长线相交 于点E，且AB=AE．（1）

如图所示，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于C，BC和AD的延长线相交 于点E，且AB=AE．（1）求证：AD⊥PD；（2）若圆的半径为______，BP=1．求证：△ABE是等边三角形．（题中横线上的数字被墨迹污染了，请你填上半径的值，并证明这个题目）

Answer 1

（1）证明：连接OC， ∵0C=OB， ∴∠OCB=∠OBC． ∵AB=AE， ∴∠E=∠OBC， ∴∠E=∠OCB， ∴OC ∥ AE． ∴∠ADC=∠OCP． ∵PD切⊙O于C， ∴∠OCP=90°． ∴∠ADC=90°． ∴AD⊥PD． （2）若圆的半径为1时，△ABE是等边三角形． 证明：∵OB=OC=1 BP=1， ∴0C= 1 2 OP． ∴∠OPC=30°， ∴∠COB=60°， 又∵OC=OB， ∴∠OBC=60°． ∵AB=AE， ∴△ABE是等边三角形．