Question

先解答（Ⅰ），再通过结构类比解答（Ⅱ）：（Ⅰ）求证： tan(x+ π 4 )= 1+tanx 1-tanx

先解答（Ⅰ），再通过结构类比解答（Ⅱ）：（Ⅰ）求证： tan(x+ π 4 )= 1+tanx 1-tanx ；（Ⅱ） 设x∈R且f（x+π）= 1+f(x) 1-f(x) ，试问：f（x）是周期函数吗？证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）证明： tan(x+ π 4 )= tanx+tan π 4 1-tanxtan π 4 = 1+tanx 1-tanx ． （Ⅱ）f（x）是以4π为其一个周期的周期函数． f(x+2π)=f(x+π+π)= 1+f(x+π) 1-f(x+π) = 1+ 1+f(x) 1-f(x) 1- 1+f(x) 1-f(x) =- 1 f(x) ， ∴ f(x+4π)=f[(x+2π)+2π]=- 1 f(x+2π) =- 1 - 1 f(x) =f(x) ， 所以f（x）是周期函数，其中一个周期为4π．