Question

先解答（1），再通过类比解答（2）：（1）①求证：tan(x+π4)=1+tan...

先解答（1），再通过类比解答（2）： （1）①求证：tan(x+π4)=1+tanx1-tanx；②用反证法证明：函数f（x）=tanx的最小正周期是π； （2）设x∈R，a为正常数，且f(x+a)=1+f(x)1-f(x)，试问：f（x）是周期函数吗？证明你的结论．

Answer 1

解：（1）①证明：tan(x+π4)=tanx+tanπ41-tanxtanπ4=1+tanx1-tanx．
②假设T是函数f（x）=tanx的一个周期，且0＜T＜π，
则对任意x≠π2+kπ，k∈Z，有tan（x+T）=tanx，令x=0得tanT=0，
而当0＜T＜π时，tanT≠0恒成立或无意义，矛盾，所以假设不成立，原命题成立．
（2）由（1）可类比出函数f（x）是周期函数，它的最小正周期是4a．
证明：因为f(x+2a)=f(x+a+a)=1+f(x+a)1-f(x+a)=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f(x)，
所以f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-1f(x+2a)=-1-1f(x)=f(x)．