Question

先解答（1），再通过类比解答（2）：（1）①求证：tan(x+π4)＝1+tanx1?tanx；②用反证法证明：函数f（x

Answer 1

（1）①证明：tan(x+
π
4
)＝
tanx+tan
π
4
1?tanxtan
π
4
＝
1+tanx
1?tanx
．
②假设T是函数f（x）=tanx的一个周期，且0＜T＜π，
则对任意x≠
π
2
+kπ，k∈Z，有tan（x+T）=tanx，令x=0得tanT=0，
而当0＜T＜π时，tanT≠0恒成立或无意义，矛盾，所以假设不成立，原命题成立．
（2）由（1）可类比出函数f（x）是周期函数，它的最小正周期是4a．
证明：因为f(x+2a)＝f(x+a+a)＝
1+f(x+a)
1?f(x+a)
＝
1+
1+f(x)
1?f(x)
1?
1+f(x)
1?f(x)
＝?
1
f(x)
，
所以f(x+4a)＝f[(x+2a)+2a]＝?
1
f(x+2a)
＝?
1
?
1
f(x)
＝f(x)．