Question

先解答（1），再通过类比解答（2）：（1）①求证： tan(x+ π 4 )= 1+tanx 1-tanx ；

先解答（1），再通过类比解答（2）：（1）①求证： tan(x+ π 4 )= 1+tanx 1-tanx ；②用反证法证明：函数f（x）=tanx的最小正周期是π；（2）设x∈R，a为正常数，且 f(x+a)= 1+f(x) 1-f(x) ，试问：f（x）是周期函数吗？证明你的结论．

Answer 1

（1）①证明： tan(x+ π 4 )= tanx+tan π 4 1-tanxtan π 4 = 1+tanx 1-tanx ． ②假设T是函数f（x）=tanx的一个周期，且0＜T＜π， 则对任意 x≠ π 2 +kπ，k∈Z ，有tan（x+T）=tanx，令x=0得tanT=0， 而当0＜T＜π时，tanT≠0恒成立或无意义，矛盾，所以假设不成立，原命题成立． （2）由（1）可类比出函数f（x）是周期函数，它的最小正周期是4a． 证明：因为 f(x+2a)=f(x+a+a)= 1+f(x+a) 1-f(x+a) = 1+ 1+f(x) 1-f(x) 1- 1+f(x) 1-f(x) =- 1 f(x) ， 所以 f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=- 1 f(x+2a) =- 1 - 1 f(x) =f(x) ．