Question

已知函数f（x）=x2-4x+a+3，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象与x轴无交点，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数

已知函数f（x）=x2-4x+a+3，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象与x轴无交点，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=bx+5-2b，b∈R．当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数y=f（x）的图象与x轴无交点，
∴方程f（x）=0的判别式△＜0，
∴16-4（a+3）＜0，解得a＞1，
∴a的取值范围为（1，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）=x²-4x+a+3的对称轴是x=2，
∴y=f（x）在[-1，1]上是减函数，
∵y=f（x）在[-1，1]上存在零点，
∴必有：

f(1)≤0 f(?1)≥0

，即

a≤0 a+8≥0

，
解得：-8≤a≤0，
故实数a的取值范围为-8≤a≤0；               
（Ⅲ）若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂），
只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）值域的子集．
当a=0时，f（x）=x²-4x+3的对称轴是x=2，∴y=f（x）的值域为[-1，3]，
下面求g（x）=bx+5-2b，x∈[1，4]的值域，
①当b=0时，g（x）=5，不合题意，舍
②当b＞0时，g（x）=bx+5-2b的值域为[5-b，5+2b]，只需要

5?b≤?1 5+2b≥3

，解得b≥6
③当b＜0时，g（x）=bx+5-2b的值域为[5+2b，5-b]，只需要

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