Question

已知f（x）=13x3+12ax2+（a-1）x+1在区间（-1，1）上是减函数，在区间（2，3）是增函数，则实数a的取值范

已知f（x）=13x3+12ax2+（a-1）x+1在区间（-1，1）上是减函数，在区间（2，3）是增函数，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+（a-1）x+1，
∴f′（x）=x²+ax+a-1=（x+1）（x+a-1），
∴当a=2时，f′（x）≥0，故函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数，不满足题意，
当a＞2时，由f′（x）＞0得，x＜1-a或x＞-1，由f′（x）＜0得1-a＜x＜-1，
故函数f（x）在区间（-∞，1-a），（-1，+∞）上是增函数，在（1-a，-1）上是减函数；
当a＜2时，由f′（x）＞0得，x＞1-a或x＜-1，由f′（x）＜0得-1＜x＜1-a，
故函数f（x）在区间（-∞，-1），（1-a，+∞）上是增函数，在（-1，1-a）上是减函数；
又f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+（a-1）x+1在区间（-1，1）上是减函数，在区间（2，3）是增函数，
∴

a＜2 1≤1?a≤2

，
解得-1≤a≤0．