Question

定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x 0 （a＜x 0 ＜b），满足 f( x 0 )= f(b)-

定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x 0 （a＜x 0 ＜b），满足 f( x 0 )= f(b)-f(a) b-a ，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x 0 是它的一个均值点．如y=x 4 是[-1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=-x 2 +mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是______．

Answer 1

）∵函数f（x）=-x 2 +mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数， ∴关于x的方程-x 2 +mx+1= f(1)-f(-1) 1-(-1) 在（-1，1）内有实数根． 由-x 2 +mx+1= f(1)-f(-1) 1-(-1) ?x 2 -mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1． 又1?（-1，1） ∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1?0＜m＜2． ∴所求实数m的取值范围是0＜m＜2． 故答案为：0＜m＜2．