Question

已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于定义域内任意x 1 ，x 2 都有f（x 1 x 2

已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于定义域内任意x 1 ，x 2 都有f（x 1 x 2 ）=f（x 1 ）+f（x 2 ）．（1）求证： f( 1 x )=-f(x) ，且f（x）是偶函数；（2）请写出一个满足上述条件的函数．

Answer 1

（1）证明：令x 1 =x 2 =1 ∵f（x 1 ?x 2 ）=f（x 1 ）+f（x 2 ） ∴f（1）=2f（1） ∴f（1）=0， ∴ f( 1 x )+f(x)=f(1)=0 ， ∴ f( 1 x )=-f(x) 令x 1 =-1，x 2 =1 f（-1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）， ∴f（-1）=0； 令x 1 =-1 ∵f（x 1 ?x 2 ）=f（x 1 ）+f（x 2 ） ∴f（x 1 ?x 2 ）=f（-x 2 ）=f（-1）+f（x 2 ） 又∵f（-1）=0 ∴f（-x 2 ）=f（x 2 ） 故f（x）是偶函数； （2）根据根据（x 1 x 2 ）=f（x 1 ）+f（x 2 ）以及函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）， 可知f（x）=log 2 |x|．