（文科）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（2，4），A，B为抛物线C上异于坐标原点O的两个动点．（Ⅰ）
（文科）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（2，4），A，B为抛物线C上异于坐标原点O的两个动点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若线段AB的中点坐标为（2，1），...
（文科）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（2，4），A，B为抛物线C上异于坐标原点O的两个动点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若线段AB的中点坐标为（2，1），求直线AB的方程；（Ⅲ）当OA?OB=0时，求证：直线AB恒过定点（2p，0）．
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（Ⅰ）解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（2，4），
∴4p=16，解得p=4，
∴抛物线C的方程为y2=8x．
（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB的中点坐标为（2，1），
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
把设A（x1，y1），B（x2，y2）代入y2=8x，得：
，两式相减，得2（y1-y2）=8（x1-x2），
∴kAB=
=4，
∴直线AB的方程为：y-1=4（x-2），即4x-y-7=0
（Ⅲ）证明：设A（
，y1），B（
，y2），
∵
?
=0，∴OA⊥OB，
∴
+y1y2＝0，
∴y1y2=-4p2，
kAB=
∴4p=16，解得p=4，
∴抛物线C的方程为y2=8x．
（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB的中点坐标为（2，1），
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
把设A（x1，y1），B（x2，y2）代入y2=8x，得：
|
∴kAB=
| y1?y2 |
| x1?x2 |
∴直线AB的方程为：y-1=4（x-2），即4x-y-7=0
（Ⅲ）证明：设A（
| y12 |
| 2p |
| y22 |
| 2p |
∵
| OA |
| OB |
∴
| y12y22 |
| 4p2 |
∴y1y2=-4p2，
kAB=
| y1?y2 |
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