Question

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，S5=20，a1，a3，a7成等比数列，数列{1anan+1}的前n项

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，S5=20，a1，a3，a7成等比数列，数列{1anan+1}的前n项和为Tn（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Tn≤λan+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值；（3）设cn=(1?TnTn+1)?1Tn+1，求证：c1+c2+c3+…+cn＜2．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则

5a1+ 5×4 2 ×d＝20 (a1+2d)2＝a1?(a1+6d)

，解得

d＝1 a1＝2

，
∴a_n=2+n-1=n+1．
（2）由（1）得，

1

anan+1

＝

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

?

1

n+2

，
则T_n=（

1

2

?

1

3

）+（

1

3

?

1

4

）+…+（

1

n+1

?

1

n+2

）
=

1

2

?

1

n+2

=

n

2(n+2)

，
∴T_n≤λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，
即

n

2(n+2)

≤λ（n+2）对一切n∈N^*恒成立，
化简得，