Question

已知函数f（x）=x2-2ax+a（a∈R）（1）当a=2时，求函数f（x）在区间[0，2]上的值域；（2）若方程f（x）=0

已知函数f（x）=x2-2ax+a（a∈R）（1）当a=2时，求函数f（x）在区间[0，2]上的值域；（2）若方程f（x）=0的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2＜2，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=2时，函数f（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2，显然函数f（x）在区间[0，2]上单调递减．
故当x=2时，函数f（x）的值最小为-2，当x=0时，函数f（x）的值最大为 2，
故函数f（x）在区间[0，2]上的值域为[-2，2]．
（2）若方程f（x）=0的两根x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂＜2，故有

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，
即

a＞0 1?2a+a＜0 4?4a+a＞0

，解得 1＜a＜

4

3

．
即实数a的取值范围是（1，

4

3

）．