Question

罗尔定理关于根的推论中f(x)的n阶导数不等于零至多有n个根是不是前提是小于n阶导数的至少要有一点

罗尔定理关于根的推论中f(x)的n阶导数不等于零至多有n个根是不是前提是小于n阶导数的至少要有一点为零？

Answer 1

　　你这一句话说的太长了，加上标点符号可好？
　　另外，f(x)的n阶导数不等于零，是说f(x)的n阶导数不恒等于零，还是说f(x)的n阶导数没有零点？？？

追问

没有零点

追答

　　罗尔定理：f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,如果f(a)=f(b),则f'(x)至少有一个根.

　　特别的,如果上述f(a)=f(b)=0,也就是f(x)在[a,b]有两个根,那么f'(x)在(a,b)至少有一个根.反之,如果f'(x)在(a,b)没有根,f(x)在[a,b]就不会有多于1个的根.

　　简单说,导函数没有根,原函数至多有一个根.

　　推而广之,如果f(x)在[a,b]连续,在(a,b)内n阶可导.并且f(x)在[a,b]有n+1个根:x0,x1,x2,...xn,那么根据罗尔定理,f'(x)在(x0,x1),(x1,x2),...,(xn-1,xn)内分别至少有一个根,从而在(a,b)内至少有n个根,同理f''(x)在(a,b)内至少有n-1个根,...,fk(x)（k阶导数)在(a,b)内至少有n-k+1个根,n阶导数fn(x)在(a,b)内至少有1个根.

　　因此,反过来,如果n阶导数没有根,f(x)就至多有n个根.