Question

高中数学求值域的问题我已经总结了一下，跪求各位予以解答

（1）y=(2x^2-x+2)/(x^2+x+1) (2)y=(2x^2-x+1)/(2x-1) （3）y=(1-sinx)/(2+sinx) (4）y=(1-sinx)/(2+cosx) (5)y=x+(1-x^2)^1/2 (6)y=x/(2x+1)

Answer 1

（1）f(x)=(2x^2-x+2)/(x^2+x+1)
F’(x)=[(4x-1) (x^2+x+1)- (2x^2-x+2) (2x+1)]/(x^2+x+1)^2
令(4x-1) (x^2+x+1)- (2x^2-x+2) (2x+1)=0
3x^2-3=0==>x1=-1, x2=1
当x∈(-∞,-1)时，F’(x)>0, 当x∈(-1,1)时, F’(x)<0,当x∈(1,+∞)时，F’(x)>0
f(-1)=5,f(1)=1
∴f(x)值域为[1，5]；

(2)f(x)=(2x^2-x+1)/(2x-1) ，其定义域为x≠1/2
F’(x)=[(4x-1) (2x-1)- (2x^2-x+1) 2]/(2x-1)^2
令(4x-1) (2x-1)- (2x^2-x+1) 2＝0
4x^2-4x-1＝0==>x1=(1-√2)/2, x2=(1+√2)/2
当x∈(-∞, (1-√2)/2)时，F’(x)>0, 当x∈((1-√2)/2,1/2)时, F’(x)<0,
当x∈(1/2, (1+√2)/2)时，F’(x)<0当x∈( (1+√2)/2,+∞)时，F’(x)>0
函数f(x)在x1=(1-√2)/2取极大值,在 x2=(1+√2)/2取极小值
f(x1)=1/2-√2, f(x2)=1/2+√2,
∴f(x)值域为(-∞，1/2-√2] ∪[1/2+√2,+ ∞]

（3）f(x)=(1-sinx)/(2+sinx)
F’(x)=[(-3cosx)]/(2+sinx)^2
令cosx=0==>x1=2kπ-π/2, x2=2kπ+π/2,为函数f(x)的二个极值点
f(-π/2)=2，f(π/2)=0
∴f(x)值域为[0，2]；

(4）f(x)=(1-sinx)/(2+cosx)
F’(x)=( sinx -2cosx- 1)/(2+cosx)^2
设cosθ=1/√5, sinθ=2/√5
令sinx -2cosx- 1=√5(1/√5sinx -2/√5cosx)-1=√5sin(x -θ)-1=0
sin(x -θ)=1/√5=cosθ
x1=2kπ+π/2,x2=2kπ+π+θ,
f(x1)=0, f(x2)=√5-1
∴f(x)值域为[0，√5-1]；

(5)f(x)=x+(1-x^2)^1/2，其定义域为[-1,1]
令F’(x)=1-x(1-x^2)^(-1/2)=0==>x1=-√2/2,x2=√2/2
当x∈(-1,√2/2)时，F’(x)>0, 当x∈(√2/2,1)时，F’(x)<0
f(x)在x2=√2/2时取极大值
f(-1)=-1，f(√2/2)=√2
∴f(x)值域为[-1，√2]；

(6)y=x/(2x+1) ，其定义域为x≠-1/2
函数y的值域为（-∞，1/2）∪（1/2,+∞）

Answer 2

1 判别式法 整理成(y-2)x^2+x(y-1)+y-2=0 当y=2时 x=0 当y不等于2时 令判别式>=0 得所求值域为5/3<=y<=3 2同上 3 反函数法 解出sinx=(1-2y)/(y+1) 又因为sinx的值域为-1到1 令 -1<=(1-2y)/(y+1)<=1 解出即可 4 数形结合法 可以看成单位圆外一点（2,1）与圆x^2+y^2=1上的点（-cosx,sinx)所连线段的斜率 5 三 角代换法 这个函数的定义域为-1<=x<=1 令 x=sint 则原式化为 y=sint+cost =根号2sin(t+45度) 又因为 -90度<=t<=90度 到这你应该知道了吧 所以 函数的值域为-1到根号2 6 同3 反函数法 解出 x=y/(1-2y) 1-2y不等于0 所以函数的定义域为y不等于1/2 还有很多种的呢 什么不等式法 换元法 配方法 导数法 我记得教过很多的 希望能帮到你噢。。

Answer 3

1 判别式法 整理成(y-2)x^2+x(y-1)+y-2=0 当y=2时 x=0 当y不等于2时 令判别式>=0 得所求值域为5/3<=y<=3 2同上 3 反函数法 解出sinx=(1-2y)/(y+1) 又因为sinx的值域为-1到1 令 -1<=(1-2y)/(y+1)<=1 解出即可 4 数形结合法 可以看成单位圆外一点（2,1）与圆x^2+y^2=1上的点（-cosx,sinx)所连线段的斜率 5 三 角代换法 这个函数的定义域为-1<=x<=1 令 x=sint 则原式化为 y=sint+cost =根号2sin(t+45度) 又因为 -90度<=t<=90度 到这你应该知道了吧 所以 函数的值域为-1到根号2 6 同3 反函数法 解出 x=y/(1-2y) 1-2y不等于0 所以函数的定义域为y不等于1/2