Question

如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧 BD 的中点，AC交BD于点E，AE=2，EC=

如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧 BD 的中点，AC交BD于点E，AE=2，EC=1．（1）求证：△DEC ∽ △ADC；（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若 不是，请说明理由．（3）延长AB到H，使BH=OB．求证：CH是⊙O的切线．

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Answer 1

（1）证明：∵C是劣弧 BD 的中点， ∴∠DAC=∠CDB．（1分） ∵∠ACD=∠ACD， ∴△DEC ∽ △ADC．（3分） （2）连接OD， ∵ DC AC = EC DC ， ∵CE=1，AC=AE+EC=2+1=3， ∴DC 2 =AC?EC=3×1=3． ∴DC= 3 ．（4分） ∵BC=DC= 3 ， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴AB 2 =AC 2 +CB 2 =3 2 +（ 3 ） 2 =12． ∴AB= 2 3 ． ∴OD=OB=BC=DC= 3 ． ∴四边形OBCD是菱形． ∴DC ∥ AB，DC＜AB． ∴四边形ABCD是梯形．（5分） 法一： 过C作CF垂直AB于F，连接OC，则OB=BC=OC= 3 ， ∴∠OBC=60°．（6分） ∴sin60°= CF BC ， CF=BC?sin60°= 3 × 3 2 = 3 2 ． ∴S 梯形ABCD = 1 2 CF（AB+DC）= 1 2 × 3 2 (2 3 + 3 )= 9 3 4 ．（7分） 法二：（接上证得四边形ABCD是梯形） ∵DC ∥ AB， ∴AD=BC． 连接OC，则△AOD，△DOC和△OBC的边长均为 3 的等边三角形．（6分） ∴△AOD≌△DOC≌△OBC． ∴S 梯形ABCD =3?S △AOD = 3× 3 4 ×( 3 ) 2 = 9 3 4 ．（7分） （3）证明：连接OC交BD于G． 由（2）得四边形OBCD是菱形． ∴OC⊥BD且OG=GC．（8分） ∵OB=BH， ∴BG ∥ CH．（9分） ∴∠OCH=∠OGB=90°． ∴CH是⊙O的切线．（10分）