Question

如下图，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D

如下图，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）那么 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

解：（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6﹣t． 当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即：6﹣t=2t，解得：t=2（s）， 所以，当t=2s时，△QAP为等腰直角三角形． （2）在△QAC中，QA=6﹣t，QA边上的高DC=12， ∴S △QAC = QA×DC= （6﹣t）12=36﹣6t． 在△APC中，AP=2t，BC=6， ∴S △APC = AP×BC= 2t6=6t． ∴S 四边形QAPC =S △QAC +S △APC =（36﹣6t）+6t=36（cm 2 ）． 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变） （3）根据题意，可分为两种情况来研究， 在矩形ABCD中： ①当 = 时，△QAP∽△ABC，那么有： = ，解得t= =1.2（s）， ②当 = 时，△PAQ∽△ABC，那么有： = ，解得t=3（s）， 所以，当t=1.2s或3s时， 以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．