Question

已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x），（a＞0且a≠1）（1）求函数F（x）=f（x）-g（x）的定

已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x），（a＞0且a≠1）（1）求函数F（x）=f（x）-g（x）的定义域；（2）判断F（x）=f（x）-g（x）的奇偶性，并说明理由；（3）确定x为何值时，有f（x）-g（x）＞0．

Answer 1

（1）由

x+1＞0 1?x＞0

 解得-1＜x＜1，故函数F（x）=f（x）-g（x）的定义域为（-1，1）．
（2）由于F（x）=f（x）-g（x）的 定义域为（-1，1），关于原点对称，
F（-x）=f（-x）-g（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[f（x）-g（x）]=-F（x），
故F（x）=f（x）-g（x）是奇函数．
（3）f（x）-g（x）＞0，即 log_a（1+x）＞log_a（1-x）．
当 0＜a＜1时，有 0＜1+x＜1-x，即-1＜x＜0．
当 a＞1时，有 1+x＞1-x＞0，即 0＜x＜1．
综上可得，当 0＜a＜1时，若-1＜x＜0，则有f（x）-g（x）＞0；
当 a＞1时，若0＜x＜1，则有f（x）-g（x）＞0．