Question

某厂家拟在2014年举行的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元

某厂家拟在2014年举行的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3-km+1（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件，已知2014年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k的值，并求年促销费用为9万元时，该厂的年产量为多少万件？（2）将2014年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（3）该厂家2014年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大值．

Answer 1

（1）由题意，不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件，知m=0时，x=1（万件），
∴1=3-k，得k=2，
从而x=3-

2

m+1

，当m=9万元时，x=2.8，
综上得，k=2，年促销费用为9万元时，该厂的年产量为2.8万件；
（2）由（1）知，x=3-

2

m+1

，又每件产品的销售价格为1.5×

8+16x

x

元，
∴2014年的利润为y=1.5×

8+16x

x

×x-（8+16x+m）=4+8x-m=28-

16

m+1

-m（m≥0）；
（3）由（2）得，y=28-

16

m+1

-m=29-[

16

m+1

+（m+1）]，
∵m≥0时，

16

m+1

+（m+1）≥2

16

=8，
∴y≤29-8=21，
当且仅当

16

m+1

=m+1，即m=3（万元）时取等号，此时，y_max=21（万元）．
答：该厂家2012年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元．